狭义相对论-时间膨胀数学推导
在狭义相对论中，所有相对于一个惯性系统移动的时钟都会走得较慢，这个现象叫时间膨胀。
狭义相对论的前提
狭义相对论有2大前提：
- 相对性原理：在任何惯性系中，所有物理规律保持不变。
- 光速不变原理：光在真空中的传播速度恒定为c。
这两个原理在本文中不做具体的解释，基于它们可以推导出时间膨胀的结论。
光子钟
为了准确的测量时间的变化，我们运用光速不变原理发明了一个理论上最精确的测时工具——光子钟。
光子钟的设计结构很简单：上下两面反射镜+一个在此间来回反射运动的光子。已知光速恒定为 30 万千米每秒，假设我们的光子钟反射镜间距 15 厘米，那么光子一次“滴答”（一次来回）的时间就是10亿分之一秒。
时间膨胀
好了，现在开始我们的思维实验。你和我两个人各携带一个光子钟，你站在地面上，我开上飞船从你眼前飞过。拥有超能力的你能够准确的看到两个光子钟的运行轨迹，那么你将看到下面的情况。
是的，在你的眼里，地面上光子钟做着上下运动，但是飞船上的光子的运动轨迹是一条斜线运动。这很好理解，因为飞船上的光子处于上下运动与向前运动的叠加状态。
由此看来，飞船上光子钟里光子经过的路线比你手上的光子钟更长，根据光速不变原理，这意味着你手上光子钟在经过一次滴答后，飞船上的光子还没来得及一次滴答完。换句话说，在你眼中，我的时间变慢了。我们通过绝对精确的光子钟测量的时间，所以我们这里谈论的是时间本身变慢了，换个比较酷炫的说法就是——时间膨胀了。
那么，问题又来了，我的时间比你慢多少呢，时间变慢的程度受到什么因素的影响呢。我们截取一段光子运动轨迹进行分析，例如下图所示：
只需要利用到勾股定理，我们就能推导出时间的变换公式。
设飞船相对地面的速度为 v，地面上经过的时间为 t，飞船上经过的时间为 t'。那么底部的直角边代表了飞船航行经过的距离 vt，侧边的直角边代表了，飞船中光子经过的距离 ct'，斜边代表着你眼中光子在地面时间 t 里经过的距离。
根据勾股定理我们得到：
$$ {ct}^2= {vt}^2 + {ct'}^2 $$
简单变换后我们得到：
$$ t = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}t' $$
这就是狭义相对论的时间膨胀公式，根据这个公式我们可以得出以下结论：
- 当 v 的速度远远小于光速时，$ t = t' $，也就是伽利略变换式
- 当 v 接近光速时，$ t = \infty $，时间等于无穷大，这意味着随着速度的增加，时间变得越来越慢，最后慢到停止的地步。
如何看待时间膨胀
那么，得出这么一个酷炫的公式后，你是不是在想只要我运动的够快，我就能活的更长呢？
我们在做个简单的计算，根据目前人类的航行器水平，登月飞船的速度是 10500 米每秒，计算可得你在登月飞船上以此速度连续飞行100年，相对地球的上的人年轻了22.4 天。是不是很受打击，另外我们这里说的是相对地球的人年轻，实际上你的寿命不会发生改变。假如你长命百岁，你经过的时间还是100年，只不过你经过100年后，地球上的人可能已经经过了150年。所以不好意思，还是停止你长生不老的幻想吧，相对论帮不了你。
后续问题
预留一个问题，让我们再次审视这个公式：
$$ t = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}t' $$
如果 v 的速度超过光速会发生什么？从数学角度来说，负数的平方根是一个虚数，那么这个虚数在物理意义上代表着什么呢？
另外在上面的思维实验中，是以地面的人作为参考系，假如以飞船上的人作为参考系，地面上的人也是以 v 的速度相对飞船运动，那么我是不是也可以说，地面上的人的时间相对飞船上变慢了呢，到底是谁的时间变慢了。
这两个问题在后续文章中解答。