光速测量-旋转齿轮法数学推导

实验原理

当一束光穿过齿轮的一个齿缝射到一面镜子上，然后光会被反射回来。如果齿轮静止，那么被反射回来的光原路返回，通过齿缝被我们看到。如果还是转动齿轮，当齿轮转到一定的速度后，光返回的时候齿缝刚好转过去，于是光就被挡住了，我们就看不到那束光。当齿轮转速再加快，快到一定程度后，光返回的时候恰好又穿过了下一个齿缝，于是我们又能看见了，这样的话，只要我们知道齿轮的转速、齿速，还有我们眼睛距离镜子的距离，就能算出光速了。

数据公式推导

单位解释：

• km/s=千米/秒
• r/s=转/秒

设齿轮的齿数为 N 个，光速为 c km/s，齿轮和镜面的距离为 d km。

由实验可知，当齿轮转速为 w r/s时，光线被遮挡消失，当齿轮转速为 2w r/s时，光线又被重新看到。

则：当齿轮转速达到 2w 时，光线经过 2d 距离的时间后刚好齿轮转过 1 齿。

推导：

1. 齿轮转过 1 齿的所需的时间：齿轮每 s 通过的齿数是 $2wN $，则转过 1 齿需要$\frac{1}{2wN} $
2. 光经过 2d 花费的时间是：$ \frac{c}{2d}$

得出：

$$ \frac{c}{2d} = \frac{1}{2wN} \\ c = 4dwN$$

数据代入

当年的实验数据如下：

当齿轮的齿数为 720 齿，光源距离镜子长达 8632 米之遥，转速达到每秒 12.67 转后，光源被挡住消失了，当转速提高到一倍后，又再一次看到了光源。

则 N = 720，d = 8.632，w = 12.67

$$ c = 4 \times 720 \times 12.67 \times 8.632 = 314978.2272 km/s $$

测量得出光速约等于 3.15 km/s。

总结

总得来说，旋转齿轮法测量光速最大的优势是去除了人为测量时间带来的误差，光速太快了以那个年代的表精度是无法准确测量经过时间的。而旋转齿轮法巧妙的用等价替换抵消了时间上测量的误差，实为该实验的智慧闪光点。